Hva en enkel lineær regresjonsmodell er og hvordan den fungerer

Lineære regresjonsmodeller brukes til å vise eller forutsi forholdet mellom to variabler eller faktorer. Faktoren som blir spådd (faktoren som ligningen løser for) kallesavhengig variabel. Faktorene som brukes til å forutsi verdien av den avhengige variabelen kalles de uavhengige variablene.

I lineær regresjon består hver observasjon av to verdier. En verdi er for den avhengige variabelen og en verdi er for den uavhengige variabelen. I denne enkle modellen tilnærmer en rett linje forholdet mellom den avhengige variabelen og den uavhengige variabelen.

Når to eller flere uavhengige variabler brukes i regresjonsanalyse, er modellen ikke lenger en enkel lineær. Dette er kjent som multippel regresjon.

Formel for en enkel lineær regresjonsmodell

De to faktorene som er involvert i enkel lineær regresjonsanalyse er utpekt x og y. Ligningen som beskriver hvordan y er i slekt med x er kjent som Regresjonsmodell.

Den enkle lineære regresjonsmodellen er representert av:

y = β₀ +β₁x+ε

Den lineære regresjonsmodellen inneholder et feilbegrep som er representert med ε. Feilbegrepet brukes til å redegjøre for variasjonen i y som ikke kan forklares med det lineære forholdet mellom x og y. Hvis ε ikke var til stede, ville det bety det å vite x ville gi nok informasjon til å bestemme verdien av y.

Det er også parametere som representerer befolkningen som studeres. Disse parametrene for modellen er representert av β₀ og β₁.

Den enkle lineære regresjonsligningen er tegnet som en rett linje, hvor:

1. β₀ er y-avskjæringen av regresjonslinjen.
2. β₁ er skråningen.
3. Ε(y) er den gjennomsnittlige eller forventede verdien av y for en gitt verdi av x.

En regresjonslinje kan vise et positivt lineært forhold, et negativt lineært forhold eller ingen forhold.

1. Ikke noe forhold: Den grafiske linjen i en enkel lineær regresjon er flat (ikke skrånende). Det er ingen sammenheng mellom de to variablene.
2. Positivt forhold: Regresjonslinjen skråner oppover med den nedre enden av linjen ved y-avskjæringen (aksen) på grafen og den øvre enden av linjen som strekker seg oppover i graffeltet, vekk fra X-avskjæringen (Axis). Det er et positivt lineært forhold mellom de to variablene: Når verdien av den ene øker, øker den andre verdien også.
3. Negativt forhold: Regresjonslinjen skråner nedover med den øvre enden av linjen ved y-avskjæringen (aksen) på grafen og den nedre enden av linjen som strekker seg nedover i graffeltet, mot X-avskjæringen (Axis). Det er et negativt lineært forhold mellom de to variablene: Når verdien av en øker, reduseres verdien av den andre.

Den estimerte lineære regresjonsligningen

Hvis parametrene til befolkningen var kjent, kunne den enkle lineære regresjonsligningen (vist nedenfor) brukes til å beregne middelverdien av y for en kjent verdi av x.

Ε(y) = β₀ +β₁x+ε

I praksis er imidlertid ikke parameterverdier generelt ikke kjent, så de må estimeres ved å bruke data fra et utvalg av populasjonen. Befolkningsparametrene estimeres ved å bruke eksemplerstatistikk. Eksempelstatistikken er representert av β₀ og β₁. Når utvalgsstatistikken er erstattet med populasjonsparametrene, dannes den estimerte regresjonsligningen.

Den estimerte regresjonsligningen er:

(ŷ) = β₀ +β₁x+ε

Merk: (ŷ) uttales y hatt.

Grafen til den estimerte enkle regresjonsligningen kalles den estimerte regresjonslinjen.

1. β₀ er y-avskjæringen av regresjonslinjen.
2. β₁ er skråningen.
3. (ŷ) er den estimerte verdien av y for en gitt verdi av x.

Grenser for enkel lineær regresjon

Selv de beste dataene forteller ikke en komplett historie. 

Regresjonsanalyse brukes ofte i forskning for å fastslå at det eksisterer en korrelasjon mellom variabler. Men korrelasjon er ikke det samme som årsakssammenheng: en sammenheng mellom to variabler betyr ikke at den ene får den andre til å skje. Selv en linje i en enkel lineær regresjon som passer til datapunktene godt, kan det hende at det ikke garanterer et årsak og virkningsforhold.

Å bruke en lineær regresjonsmodell vil tillate deg å oppdage om det i det hele tatt eksisterer en sammenheng mellom variabler. For å forstå nøyaktig hva det forholdet er, og om en variabel forårsaker en annen, trenger du ytterligere forskning og statistisk analyse.